George Polya citações famosas

A matemática é a ciência mais barata. Ao contrário da física ou da química, não requer nenhum equipamento caro. Tudo o que se precisa para a matemática é um lápis e papel.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há um grão de descoberta na solução de qualquer problema. O vosso problema pode ser modesto, mas se desafiar a vossa curiosidade e pôr em jogo as vossas faculdades inventivas, e se o resolverem com os vossos próprios meios, poderão experimentar a tensão e desfrutar do triunfo da descoberta.

Por onde devo começar? Comece com a declaração do problema. ... O que posso fazer? Visualize o problema como um todo da forma mais clara e vívida possível. ... O que posso ganhar ao fazê-lo? Você deve entender o problema, familiarizar-se com ele, imprimir seu propósito em sua mente.

Mesmo os estudantes bastante bons, depois de terem obtido a solução do problema e escrito bem o argumento, fecham os livros e procuram outra coisa. Ao fazê-lo, perdem uma fase importante e instrutiva do trabalho. ... Um bom professor deve compreender e imprimir aos seus alunos a visão de que nenhum problema está completamente esgotado.

Beleza na matemática é ver a verdade sem esforço.

Pedantismo e mestria são atitudes opostas em relação às regras. Aplicar uma regra à letra, rígida e inquestionavelmente, nos casos em que se encaixa e nos casos em que não se encaixa, é pedantismo. [... Aplicar uma regra com facilidade natural, com julgamento, percebendo os casos em que ela se encaixa, e sem nunca deixar que as palavras da regra obscureçam o propósito da ação ou as oportunidades da situação, é domínio.

Se você deseja aprender a nadar, você tem que ir para a água e se você deseja se tornar um solucionador de problemas, você tem que resolver problemas.

Epitáfio sobre Newton: a natureza e a lei da natureza estavam escondidas na noite: Deus disse: "Seja Newton!, "e tudo era leve. [adicionado por Sir John Collings Squire: não durou: o diabo gritando " Ho. Que Einstein seja, " restaurou o status quo] [versão de Aaron Hill: O'er leis da Natureza Deus lançou o véu da noite, apagou a alma de um Newton e tudo era luz.

O meu método para ultrapassar uma dificuldade é contorná-la.

Para traduzir uma frase do Inglês para o francês são necessárias duas coisas. Em primeiro lugar, temos de compreender bem a frase em inglês. Em segundo lugar, temos de estar familiarizados com as formas de expressão próprias da língua francesa. A situação é muito semelhante quando tentamos expressar em Símbolos matemáticos uma condição proposta em palavras. Em primeiro lugar, temos de compreender bem a condição. Em segundo lugar, temos de estar familiarizados com as formas de expressão matemática.

Resolver problemas é uma habilidade prática como, digamos, nadar. Adquirimos qualquer habilidade prática por imitação e prática. Tentando nadar, você imita o que as outras pessoas fazem com as mãos e os pés para manter a cabeça acima da água e, finalmente, aprende a nadar praticando natação. Tentando resolver problemas, temos de observar e imitar o que as outras pessoas fazem quando resolvemos problemas e, finalmente, aprendemos a resolver problemas fazendo-os.

Se há um problema que você não pode resolver, então há um problema mais fácil que você não pode resolver: encontre-o.

A primeira regra de estilo é ter algo a dizer. A segunda regra de estilo é controlar-se quando, por acaso, tem duas coisas a dizer; diga primeiro uma, depois a outra, não as duas ao mesmo tempo.

Sou bom demais para a filosofia e não sou bom o suficiente para a física. A matemática está no meio.

A matemática não é um desporto para espectadores!

A matemática consiste em provar a coisa mais óbvia da maneira menos óbvia.

O sucesso na resolução do problema depende da escolha do aspecto certo, do Ataque à fortaleza pelo seu lado acessível.

É melhor resolver um problema de cinco maneiras diferentes, do que resolver cinco problemas de uma maneira.

A matemática tem duas faces: é a ciência rigorosa de Euclides, mas é também outra coisa. A matemática apresentada à maneira Euclidiana aparece como uma ciência sistemática e dedutiva; mas a matemática em formação aparece como uma ciência experimental e indutiva. Ambos os aspectos são tão antigos quanto a própria ciência da matemática.

O modo de exposição de Euclides, que avança incansavelmente dos dados para o desconhecido e da hipótese para a conclusão, é perfeito para verificar o argumento em pormenor, mas longe de ser perfeito para tornar compreensível a linha principal do argumento.

A analogia permeia todo o nosso pensamento, a nossa fala quotidiana e as nossas conclusões triviais, bem como as formas artísticas de expressão e as mais elevadas realizações científicas.

Para resolver esta equação diferencial, você olha para ela até que uma solução lhe ocorra.

No "commentatio" (nota apresentada à Academia Russa) em que seu teorema sobre poliedros (sobre o número de faces, arestas e vértices) foi publicado pela primeira vez Euler não dá nenhuma prova. No lugar de uma prova, ele oferece um argumento indutivo: ele verifica a relação em uma variedade de casos especiais. Há pouca dúvida de que ele também descobriu o teorema, como muitos de seus outros resultados, indutivamente.

Estou a evitar intencionalmente o termo padrão que, aliás, não existia na época de Euler. Um dos resultados mais feios da "nova matemática" foi a introdução prematura de termos técnicos.

Um matemático que só pode generalizar é como um macaco que só pode subir numa árvore, e um matemático que só pode especializar-se é como um macaco que só pode descer numa árvore. Na verdade, nem o macaco para cima nem o macaco para baixo são uma criatura viável. Um verdadeiro macaco deve encontrar comida e escapar dos seus inimigos e, por isso, deve ser capaz de subir e descer incessantemente. Um verdadeiro matemático deve ser capaz de generalizar e especializar-se.

Certa vez, Hilbert teve um estudante de matemática que parou de assistir às suas palestras e, finalmente, foi informado de que o jovem havia saído para se tornar poeta. Hilbert teria comentado: 'eu nunca pensei que ele tivesse imaginação suficiente para ser um matemático.'

O princípio é tão perfeitamente geral que nenhuma aplicação particular é possível.

O primeiro e mais importante dever do ensino médio no ensino de matemática é enfatizar o trabalho metódico na resolução de problemas...O professor que deseja servir igualmente todos os seus alunos, futuros utilizadores e não utilizadores de matemática, deve ensinar a resolução de problemas de modo a que seja cerca de um terço da matemática e dois terços do bom senso.

Escrever e falar correctamente é certamente necessário, mas não é suficiente. Uma derivação correctamente apresentada no livro ou no quadro-negro pode ser inacessível e pouco instrutiva, se o objectivo das etapas sucessivas for incompreensível, se o leitor ou o ouvinte não conseguirem compreender como foi humanamente possível encontrar tal argumento....

Uma ideia que pode ser usada uma vez é um truque. Se puder ser utilizado mais de uma vez, torna-se um método.

A melhor das ideias é prejudicada pela aceitação acrítica e prospera com o exame crítico.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há um grão de descoberta em qualquer problema.

A elegância de um teorema matemático é diretamente proporcional ao número de ideias independentes que se pode ver no teorema e inversamente proporcional ao esforço necessário para vê-las.

O mundo está ansioso para admirar esse ápice e culminação da matemática moderna: um teorema tão perfeitamente geral que nenhuma aplicação particular dele é viável.

Muitas vezes, quando uma ideia que poderia ser útil se apresenta, não a apreciamos, pois é tão discreta. O perito não tem, talvez, mais ideias do que o inexperiente, mas aprecia mais o que tem e utiliza-o melhor.

Para ensinar de forma eficaz, um professor deve desenvolver um sentimento pelo seu assunto; ele não pode fazer com que seus alunos sintam sua vitalidade se ele mesmo não a sentir. Não Pode partilhar o seu entusiasmo quando não tem entusiasmo para partilhar. Como ele faz o seu ponto pode ser tão importante quanto o ponto que ele faz; ele deve pessoalmente sentir que é importante.

O professor raramente pode se dar ao luxo de perder as perguntas: O que é o desconhecido? Quais são os dados? Qual é a condição? O aluno deve considerar as partes principais do problema com atenção, repetidamente e de vários lados.

Um dos primeiros e mais importantes deveres do professor é não dar aos seus alunos a impressão de que os problemas matemáticos têm pouca ligação entre si e nenhuma ligação com qualquer outra coisa. Temos uma oportunidade natural de investigar as ligações de um problema quando olhamos para a sua solução.

Se não conseguir resolver o problema proposto, tente resolver primeiro algum problema relacionado.

Há muitas perguntas que os tolos podem fazer e que os sábios não podem responder.

A primeira regra da descoberta é ter cérebro e boa sorte. A segunda regra da descoberta é sentar-se e esperar até ter uma ideia brilhante.

Quando introduzida na hora ou no lugar errado, a boa lógica pode ser o pior inimigo do bom ensino.

Matemática é ser preguiçoso. Matemática é deixar que os princípios façam o trabalho por você, para que você não precise fazer o trabalho por si mesmo

A geometria é a ciência do raciocínio correcto sobre figuras incorrectas.

O segredo aberto do verdadeiro sucesso é lançar toda a sua personalidade no seu problema.

Houve um seminário para estudantes avançados em Z7rich que eu estava ensinando e Von Neumann estava na classe. Cheguei a um certo teorema e disse que não está provado e que pode ser difícil. Von Neumann não disse nada, mas depois de cinco minutos ele levantou a mão. Quando o chamei, ele foi ao quadro negro e começou a anotar a prova. Depois disso, tive medo de von Neumann.

Se a prova partir de axiomas, distinguir vários casos e tomar treze linhas no livro de texto ... pode dar aos jovens a impressão de que a matemática consiste em provar as coisas mais óbvias da forma menos óbvia.

O futuro matemático ... deve resolver problemas, escolher os problemas que estão na sua linha, meditar sobre a sua solução, e inventar novos problemas. Por este meio, e por todos os outros meios, ele deve se esforçar para fazer sua primeira descoberta importante: ele deve descobrir seus gostos e desgostos, seu gosto, sua própria linha.

Olhe em volta quando tiver o seu primeiro cogumelo ou tiver feito a sua primeira descoberta: eles crescem em grupos.

Se você tem que provar um teorema, não se apresse. Em primeiro lugar, compreenda plenamente o que o teorema diz, tente ver claramente o que significa. Em seguida, verifique o teorema; pode ser falso. Examine as consequências, verifique quantos casos específicos forem necessários para se convencer da verdade. Quando se tiver convencido de que o teorema é verdadeiro, pode começar a prová-lo.