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A essência da matemática reside precisamente na sua liberdade.
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Fazer a pergunta certa é mais difícil do que respondê-la.
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Uma conclusão falsa, Uma vez alcançada e amplamente aceite, não é facilmente desalojada e, quanto menos compreendida, mais tenaz é mantida.
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Um conjunto é um conjunto que se permite pensar como um conjunto.
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Em matemática, a arte de propor uma questão deve ser considerada de maior valor do que resolvê-la.
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O infinito real surge em três contextos: primeiro, quando é realizado na forma mais completa, em um ser de outro mundo totalmente independente, em deo, onde eu o chamo de infinito absoluto ou simplesmente absoluto; segundo, quando ocorre no mundo contingente, criado; terceiro, quando a mente o agarra em abstracto como uma magnitude matemática, número ou tipo de ordem.
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O medo do Infinito é uma forma de miopia que destrói a possibilidade de ver o infinito real, mesmo que ele na sua forma mais elevada nos tenha criado e nos sustente, e nas suas formas transfinitas secundárias ocorra à nossa volta e até habite as nossas mentes.
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Toda multiplicidade consistente de transfinitos, isto é, todo conjunto de transfinitos, deve ter um aleph definido como seu número cardinal.
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Em matemática, a arte de fazer perguntas é mais valiosa do que resolver problemas.
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Não há dúvida de que não podemos prescindir de quantidades variáveis no sentido do infinito potencial. Mas a partir deste mesmo fato, a necessidade do infinito real pode ser demonstrada.
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O que eu afirmo e acredito ter demonstrado neste e em trabalhos anteriores é que, seguindo o finito, existe um transfinito (que também se poderia chamar de supra-finito), que é um lader ascendente ilimitado de modos definidos, que por sua natureza não são finitos, mas infinitos, mas que, assim como o finito, podem ser determinados por números bem definidos e distinguíveis.
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Os números transfinitos são, em certo sentido, eles próprios novas irracionalidades e, na verdade, na minha opinião, o melhor método para definir os números irracionais finitos é totalmente diferente, e eu poderia até dizer em princípio o mesmo que, o meu método descrito acima de introduzir números trasfinitos. Pode-se dizer incondicionalmente: os números transfinitos permanecem ou caem com os números irracionais finitos; eles são como os outros em seu ser mais íntimo; pois os primeiros como os últimos são formas delimitadas definidas ou modificações do infinito real.
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O infinito potencial não significa outra coisa senão uma quantidade indeterminada e variável, sempre finita, que tem de assumir valores que se tornam menores do que qualquer limite finito, não importa quão pequeno, ou maiores do que qualquer limite finito, não importa quão grande.
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A antiga e repetida proposição "Totum est majus sua parte" [o todo é maior que a parte] só pode ser aplicada sem prova no caso de Entidades que se baseiam no todo e na parte; então e só então é uma consequência inegável dos conceitos "totum" e "pars". Infelizmente, porém, este" axioma "é utilizado inúmeras vezes sem qualquer base e negligenciando a necessária distinção entre" realidade "e" quantidade", por um lado, e" número "e" conjunto", por outro, precisamente no sentido em que é geralmente falso.
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Se Mittag-Leffler tivesse o seu caminho, teria de esperar até ao ano de 1984, o que me pareceu uma exigência demasiado grande!
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Os números transfinitos são, em certo sentido, as novas irracionalidades [ ... eles] permanecem ou caem com os números irracionais finitos.
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Nem sempre siga cegamente as orientações e instruções passo a passo; você pode encontrar algo interessante.
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Esta visão [do infinito], que considero ser a única correta, é mantida por apenas alguns. Embora, possivelmente, eu seja o primeiro na história a tomar esta posição de forma tão explícita, Com todas as suas consequências lógicas, sei com certeza que não serei o último!
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Minha teoria permanece firme como uma rocha; cada flecha dirigida contra ela retornará rapidamente ao seu arqueiro. Como é que sei disso? Porque o estudei de todos os lados durante muitos anos; porque examinei todas as objecções que já foram feitas contra os números infinitos; e acima de tudo porque segui as suas raízes, por assim dizer, até à primeira causa infalível de todas as coisas criadas.
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A grande inovação só acontece quando as pessoas não têm medo de fazer as coisas de forma diferente.
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Sou tão a favor do infinito real que, em vez de admitir que a natureza o abomina, como se costuma dizer, defendo que a natureza faz uso frequente dele em todos os lugares, a fim de mostrar mais eficazmente as perfeições de seu autor. Assim, creio que não há parte da matéria que não seja-não digo divisível-mas que seja realmente divisível; e, consequentemente, a menor partícula deve ser considerada como um mundo cheio de uma infinidade de criaturas diferentes.
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Não tenho dúvidas quanto às verdades dos tranfinitas, que reconheci com a ajuda de Deus e que, na sua diversidade, estudei há mais de vinte anos; todos os anos, e quase todos os dias, me levam mais longe nesta ciência.
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A minha bela prova está toda em ruínas.
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Compreendo que, neste empreendimento, me coloco numa certa oposição às opiniões amplamente defendidas sobre o infinito matemático e às opiniões frequentemente defendidas sobre a natureza dos números.
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Gosto da criatividade na recolha de dados. Aqui estão algumas ideias criativas de rastreamento do Google Analytics que vi:
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A matemática é totalmente livre no seu desenvolvimento, e os seus conceitos só estão ligados pela necessidade de serem coerentes, e são coordenados com os conceitos introduzidos anteriormente por meio de definições precisas.
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A matemática, no desenvolvimento das suas ideias, tem apenas de ter em conta a realidade imanente dos seus conceitos e não tem absolutamente nenhuma obrigação de examinar a sua realidade transitória.
